Сопоставление двух выборок

Критерий Фишера

При нормальном законе распределения случайных величин используется для проверки гипотезы о различии свойств выборочных дисперсий.

Формула для расчётов:

kriteriy_fishera.png

Найденное значение сравнивается с табличным значением при заданном уровне значимости P и степенях свободы f1 = n1 – 1 и f2 = n2 - 1. Если F > Fтабл. тогда гипотеза о различии в свойствах выборочных дисперсий принимается.

Задача №1:

При анализе содержания фторид – ионов в почве различными лаборантами получены данные (млн):

  • 10,41; 10,48; 10,41; 10,44; 10,45; 10,45
  • 10,48; 10,42; 10,44; 10,43; 10,43; 10,42

Есть ли различия в воспроизводимости двух выборок, возможно ли объединение двух выборок в одну.

Решение:

Выборки очевидно не содержат грубых промахов. Для каждой из выборок рассчитаем средние:

srzn.png

Для каждой из выборок рассчитаем дисперсии по формуле:

vyborochnaya_dispersiya.png

srdisp.png

fisherdisp.png

Сравнение дисперсий по критерию Фишера указывает на отсутствие различий в свойствах на уровне значимости 0,95.

Ответ: на уровне значимости 0,95 выборки не различаются по воспроизводимости, средние не отличаются – выборки можно объединить в одну.

Критерий Стьюдента (t – критерий)

Перед применением данного критерия необходимо проверить выборки на однородность по критерию Фишера, также должны отсутствовать грубые промахи.

Разность средних арифметических вариант случайная величина и следует распределению. Величину критерия для двух не зависимых выборок вычисляют по формуле:

kriteriy_styudenta2v.png

obshchayadispers.png

Полученную величину сравнивают с табличным значением, если t < tтабл., то различие между средними считают статистически не значимым.

Задача №2:

При анализе содержания СО2 в воздухе промышленного помещения двумя лаборантами получены данные в % масс.:

  • 0,45; 0,47; 0,52
  • 0,49; 0,50; 0,55; 0,51

Возможно ли объединение двух выборок?

Решение:

Выборки очевидно не содержат грубых промахов. Для каждой из выборок рассчитаем дисперсию по формуле:

vyborochnaya_dispersiya.png

dispdlyavyb.png

Проверим выборки на однородность по критерию Фишера:

dispfisher.png

Сравнение дисперсий по критерию Фишера указывает на их однородность на уровне значимости 0,95.

Рассчитаем средние арифметические вариант обоих выборок:

srednee_arifmeticheskoe.png

fishersrzn.png

Рассчитаем обобщённую дисперсию двух выборок:

disper.png

Рассчитаем величину t-критерия:

kritdisper.png

Сравним полученное значение с табличным при заданном уровне значимости:

tkritdisp.png

Так как вычисленное значение меньше табличного, то разница между средними арифметическими вариант статистически не значима.

Ответ: различие статистически не значимо, выборки можно объединить.

Видео можно посмотреть тут.